备战2022届高考压轴题解法讲义系列之含参高端函数的分析策略(4)最值分析法

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 （4）最值分析法 【知识与方法储备】 对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的不等式（方程）类型，采用最值分析法.最值分析法求解不等式（方程）问题是最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目，此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功，是函数与导数中的难点问题. 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整理成适当形式如、等，整体视为一个函数，其函数含参； （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论. 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）；② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）， 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 【常见题型与解法探究】 题型一、可分离参数，最值不易求 【罗师导航】】讨论找到最值点 【典例1-1】已知函数是自然对数的底数 （1）求函数的最小值； （2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【典例1-2】已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的最小值. 【能力达标训练】 【1-1】已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围． 【1-2】已知函数，为的导数. （1）当时，求的最小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 题型二、不能分离参数 【罗师导航】 【典例2-1】已知，设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【能力达标训练】 【2-1】已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求实数的取值集合. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 （4） 最值分析法 【知识与方法储备】 对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的不等式（方程）类型，采用最值分析法.最值分析法求解不等式（方程）问题是最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目，此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功，是函数与导数中的难点问题. 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整理成适当形式如、等，整体视为一个函数，其函数含参； （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论. 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）；② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）， 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 【常见题型与解法探究】 题型一、可分离参数，最值不易求 【罗师导航】 【典例1-1】已知函数是自然对数的底数 （1）求函数的最小值； （2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【解析】函数，令，解得 当时，，单调递减;当时，，单调递增，