专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解矩形的概念； 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理； 3. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半； 4. 能力要求：利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形性质的理解 1．已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB． (1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积． 【答案】(1)见分析 (2)△BEC的面积为7.5． 【分析】 （1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可； （2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积． (1) 解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E； (2)解：由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1， 在△ABE中，∠A=90°， ∴AB2+AE2=BE2， 故32+（x-1）2=x2， 解得x=5， ∴△BEC的面积为×5×3=7.5． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【变式1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（       ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可． 解：A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意； B．矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意； C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意； D．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 【变式2】如图，在五边形ABCDE中，，，，连接CE，BD．若且，则的面积为______． 【答案】 【分析】作出BC边上的垂线DF和EG，DF无法直接计算，DF是△CDF的一条边，而△EGC和△CDF已有边CE=CD，∠EGC=∠CFD=90°，若两三角形全等便可求出DF的长． 解：如下图过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC延长线于F， ∵∠A=∠ABC=90°，EG⊥BC， ∴ABGE是矩形，BG=AE=， ∴CG=BC－BG=6－=， ∵CE⊥CD， ∴∠ECG＋∠DCF=90°， ∵∠ECG＋∠CEG=90°， ∴∠CEG=∠DCF， ∵CE=DC，∠EGC=∠CFD， ∴△EGC≌△CFD（AAS）， ∴DF=CG=， S△BCD=×6×=， 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质和判定，三角形的面积计算，正确作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键． 类型二、利用矩形的性质求角 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠AB