第05讲 相似三角形中的“A”字模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第05讲 相似三角形中的“A”字模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 【考点剖析】 一．填空题（共2小题） 1．（2021秋•金山区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝　 　． 2．（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝　 　． 二．解答题（共2小题） 3．（2022春•浦东新区校级期中）一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的长． 4． 如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值． 5．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2， BD = 2DC，求AC的长． 4．（2021秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F． （1）当DE⊥BC时，求DE的长； （2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值； （3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长． 【过关检测】 1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 2．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 3．（2021·上海嘉定·二模）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM． （1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：； （2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：； （3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值． 4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点． （1）求线段的长； （2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $第05讲 相似三角形中的“A”字模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 【考点剖析】 一．填空题（共2小题） 1．（2021秋•金山区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝　1　． 【分析】利用A字模型相似三角形进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB， ∴△EAF∽△EBC， ∴， ∴， ∴AF＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 2．（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝　　． 【分析】根据已知∠BCE＝∠A，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作EF⊥BC，垂足为F，可得△ABC∽△CEF，进而可得CF＝2EF，然后设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，最后再证明A字模型相似△BFE∽△BCD，从而解答即可． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠ACB＝90°，BC＝2，， ∴AC4， ∵CD：AD＝1：3， ∴CD＝1， ∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°， ∴△ABC∽△CEF， ∴2， ∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a， ∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE， ∴△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∴a， ∴EF，CF＝1， ∴CE， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键． 二．解答题（共2小题） 3．（2022春•浦东新区校级期中）一把梯子