第04讲 相似三角形中的“8”字模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第04讲 相似三角形中的“8”字模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论： ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【考点剖析】 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•静安区期末）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么边BC的长是（　　） A．8 B．10 C．6 D．4 2．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 二．填空题（共2小题） 3．（2021春•徐汇区校级期中）如图，请添加一个条件使AB∥CD，这条件可以是 　 　． 4．（2021秋•青浦区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB，AF＝2BF，那么GB＝　 　． 三．解答题（共1小题） 5．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求的值． 【过关检测】 1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____． 2．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 3．（2021·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 4．（2020·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA． （1）求证：AD＝DE； （2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $第04讲 相似三角形中的“8”字模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论： ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【考点剖析】 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•静安区期末）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么边BC的长是（　　） A．8 B．10 C．6 D．4 【分析】根据相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：如图， ∵DE∥BC， ∴△EAD∽△CAB， ∴， ∵，DE＝2， ∴， ∴， ∴BC＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键． 2．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利