第01讲 相似形与比例线段（核心考点讲与练）【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第01讲 相似形与比例线段（核心考点讲与练） 【基础知识】 一、相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 二、比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 三、比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 四、三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 五、三角形一边的平行线性质定理推论 1、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 2、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 六、三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 七、平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 【考点剖析】 【考点1】相似形 例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（ ） A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似 C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似 【答案】B 【解析】解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B. 【考点2】比例线段 例题2（2019华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ） A. a：b = 4：9; B. b：c = 2：3; C. a：b = 3：2; D. b：c = 3：2 【答案】B 【解析】解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B． 例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________． 【答案】 【解析】解:∵， ∴x＝, ∴．故答案为：． 例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米． 【答案】； 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为． 例题5（2019进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km． 【答案】96； 【解析】解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96k