第02讲 与三角形有关的角（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第02讲与三角形有关的角（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 二．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 三．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【核心考点精讲】 一．三角形内角和定理（共5小题） 1．（2022春•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过顶点C作DE∥AB，若∠DCA＝25°，则∠B的度数为（　　） A．75° B．45° C．55° D．65° 【分析】由DE∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可求得出∠A的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠DCA＝25°． 在△ABC中，∠A＝25°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 2．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 　直角　三角形． 【分析】利用三角形内角和定理，求得∠B＝90°即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝135°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝45°， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理 3．（2022春•秦淮区期中）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B的度数为（　　） A．57° B．60° C．63° D．70° 【分析】由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，依据∠BDG是△BDF是外角，即可得到∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进而得到原三角形的∠B为63°． 【解答】解：如图， 由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG， ∵∠BDG是△BDA是外角， ∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°， ∴∠ABE＝∠ABE＝21°， ∴∠ABG＝3×21°＝63°， 即原三角形的∠B为63°， 故选：C． 【点评】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠FBE＝∠ABE＝∠ABG是解答此题的关键． 4．（2022春•江阴市期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC． （1）请说明DE∥BC； （2）若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由题意易证得AB∥EF，则有∠ADE＝∠DEF，从而得∠DEF＝∠EFC，即可判定DE∥BC； （2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE∥BC，由三角形的内角和定理可求得∠