专题07 平行线的性质 (知识点梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）

专题07 平行线的性质 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 1.平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记) 2.平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补 3.平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如右图所示，∵∥，∥ ∴∥ 注意：符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会有结论：这两条直线都平行。 【经典题型】 考点1 平行线的性质 【典例1】（2021秋•砚山县期末）如图，AB∥CD，∠C＝75°，∠E＝35°，则∠A为（　　） A．90° B．35° C．40° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝75°， ∴∠BOE＝∠C＝75°， ∵∠E＝35°， ∴∠A＝∠BOE﹣∠E＝75°﹣35°＝40°． 故选：C． 【变式1-1】（2021秋•石狮市期末）如图，直线l1、l2被直线l所截，l1∥l2，∠1＝α，则∠2的大小为（　　） A．α B．2α C．90°+α D．180°﹣α 【答案】D 【解答】解：∵如图，l1∥l2，∠1＝α， ∴∠3＝∠1＝α， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣α． 故选：D． 【变式1-2】（2021秋•船山区校级期末）如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（　　） A．25° B．27° C．29° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC＝∠DAB＝54°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝27°， ∴∠E＝27°． 故选：B． 【变式1-3】（2022•云南模拟）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°，则∠2的大小是（　　） A．53° B．50° C．37° D．23° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝53°， ∴∠BDC＝180°﹣∠1＝127°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝37°． 故选：C． 【变式1-4】（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．18° D．30° 【答案】B 【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD＝∠EDF＝45°， ∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°． 故选：B． 考点2 平行线判定与性质综合 【典例2】（2021秋•平阴县期末）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，求∠A的度数． 【答案】40° 【解答】解：∵m∥n， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵∠3＝∠2+∠A， ∴∠A＝∠3﹣∠2 ＝70°﹣30° ＝40°． 【变式2-1】（2021秋•市中区期末）如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A＝110°，求∠E． 【答案】110° 【解答】解：∵AD∥BE，∠A＝110°， ∴∠CBE＝∠A＝110°， ∵∠EDC＝∠C， ∴DE∥AC， ∴∠E＝∠CBE＝110°． 【变式2-2】（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D． 【答案】略 【解答】证明：∵AE∥BF， ∴∠F＝∠AED， ∵∠A＝∠F， ∴∠A＝∠AED， ∴AB∥DF， ∴∠C＝∠D． 【变式2-3】（2021秋•丹东期末）如图，已知直线EF∥GH，AC⊥BC，BC平分∠DCH． （1）求证：∠ACD＝∠DAC； （2）若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数． 【答案】（1）略 （2）59° 【解答】（1）证明：∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC； （2）解：由（1）得：∠ACG+∠BCH＝90°， ∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度， ∴∠ACG＝2∠BCH﹣3°， ∴2∠BCH﹣3°+∠BCH＝90°， 解得：∠BCH＝31°， ∴∠ACG＝59°， ∴∠DAC＝∠ACG＝59° 考点3 平行线与三角尺结合问题 【典例3】（2022•瑶海区校级二模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】A 【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°， ∴∠1+∠3＝115°， ∵AD∥BC， ∴∠1+∠3+∠