备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第9章解三角形（3）三角形的中线性质

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （3）三角形的中线性质 中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，，在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 倍长中线长公式：,即 推导过程：平行四边形的对角线平方和等于四边平方和， 向量中线长公式： 推导过程：由， 则 所以 备注：1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理； 2.中线可延伸补形得平行四边形，与向量结合 【能力过关检测】 【1-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长． 【1-2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点. （1）求A的值；（2）若a＝，求中线AM长度的最大值. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （3）三角形的中线性质 中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，，在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 倍长中线长公式：,即 推导过程：平行四边形的对角线平方和等于四边平方和， 向量中线长公式： 推导过程：由， 则 所以 备注：1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理； 2.中线可延伸补形得平行四边形，与向量结合 【能力过关检测】 【1-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长． 【答案】(1)，(2)； 【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数平方关系，利用正弦定理的角化边，再结合余弦定理及特殊值对应的特殊角即可求解. （2）根据（1）及已知条件知，为等腰三角形，根据三角形的内角和定理及面积公式，再结合余弦定理即可求解. 【解析】(1)由及平方关系，得 ， 即及正弦定理，得 ，于是有及余弦定理，得 ，. (2)由（1）知，因为，所以，即，. 因为的面积为，所以，解得. 在中，因为M为AB的中点，所以， 由余弦定理，得，即 【1-2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点. （1）求A的值；（2）若a＝，求中线AM长度的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为b＝acos C＋csin A，根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以cos Asin C＝sin Csin A.因为sin C≠0，所以tan A＝. 又0＜A＜π，所以A＝. （2）在ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，所以b2＋c2≤6.因为AM是BC边上的中线，所以＝， 两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝， 当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $