备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第9章解三角形（2）三角形的角平分线性质

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （2）三角形的角平分线性质 等距定理：角平分线上的点到角两边距离相等，隐含对称性； 内角平分线定理：为的内角的平分线，则； D C B A 推导过程：在中，，在中，，，该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合“爪子定理”，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷. 角平分线长公式：； 推导过程：所以，所以，整理的：. 张角定理：； 推导过程：因为，即； ④库斯顿定理：. 备注： 1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系 2.角平分线也是两边的“对称轴” 3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用 【能力过关检测】 【1-1】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【1-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度． 【1-3】已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若角的平分线与交于点，且，求的值. 【1-4】如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足. (1)求证：； (2)若，，求△的面积的最小值. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考考前二级公式微专题系列 第9章 解三角形 （2）三角形的角平分线性质 等距定理：角平分线上的点到角两边距离相等，隐含对称性； 内角平分线定理：为的内角的平分线，则； D C B A 推导过程：在中，，在中，，，该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合“爪子定理”，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷. 角平分线长公式：； 推导过程：所以，所以，整理的：. 张角定理：； 推导过程：因为，即； ④库斯顿定理：. 备注： 1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系 2.角平分线也是两边的“对称轴” 3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用 【能力过关检测】 【1-1】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【解析】（1）由正弦定理及得，， 由余弦定理可得，因为，所以． （2）由（1）得角，又因为为的平分线，点在上，所以，又因为，且，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得． 【1-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度． 【解析】（1）由及正弦定理得 ， 因为，所以，由为三角形内角得； （2）因为平分，则到，的距离相等，设为，因为，所以，由角平分线性质得，所以，因为，， 由余弦定理得，得，故， 因为，， 解得． 【1-3】已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若角的平分线与交于点，且，求的值. 【答案】(1)；(2). 解析：（1）方法一：由及余弦定理得， 整理得，所以. 方法二：由及正弦定理得， 又，所以. （2）由（1）可知，且，所以， 同理可得，设的面积分别为， 则， ，， 由得，所以. 【1-4】如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足. (1)求证：； (2)若，，求△的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析。(2) 【分析】（1）分别在△和△中运用正弦定理并结合已知条件即可证得； （2）利用，列出等式，利用基本不等式即可求出△的面积的最小值. (1)在△中，利用正弦定理可知，即， 同理，在△中，利用正弦定理可知， 即， 由已知条件，可得， 即 。，∴； (2)设，, , ∴，，， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，（当且仅当时等号成立） ∴，即的最小值为. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $