精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

哈三中2021—2022学年度下学期 高一学年期中考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，在等边中，，若的直观图为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 圆锥的母线长是3，侧面积是，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知向量、满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列说法正确的是（ ） A 棱锥至少有6条棱 B. 过圆锥侧面上的一点有无数条母线 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 6. 中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 一个正四面体的展开图如图所示，A，B分别为正四面体的两个顶点，M，N分别是正四面体两条棱的中点，则在原来的正四面体中，直线AB和MN所成角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. （二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知A，B，C表示不同点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、、上的截点分别是，，，则截面可以是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 11. 半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ） A B. AB与PF所成角为45° C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体多面体有12个顶点，14个面 12. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形ABCD面积最小值为 D. 四边形ABCD面积最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13. 球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的______倍． 14. 若复数 （，i为虚数单位）的实部和虚部相等，则m=______． 15. 菱形中，，则实数的值为___________ 16. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段的中点，M，N分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，正方体的棱长为1，过顶点B、D、截下一个三棱锥． （1）求剩余部分的体积V； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，C，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的周长l的最小值． 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点． （1）求证：AC∥平面B1MN； （2）求证：平面ACP∥平面B1MN． 20. “龙塔”是哈尔滨市有名的地标性建筑，位于中国黑龙江省哈尔滨市南岗区，是亚洲著名高钢塔，2008年11月8日龙塔被正式批准加入世界高塔协会.如图所示，两名外地旅客（绿码）从龙塔（图中PH）正西方的招商证券大厦（图中A点）出发，沿长江路以北偏东75°方向匀速驾驶机动车到达市图书馆（图中B点），此时望见龙塔底端（图中H点）位于南偏西45°方向，坐副驾驶的旅客沿途始终保持观察龙塔，他发现在途中的点E处观察的仰角达到最大值，此时仰角为60°，已知招商证券大厦与龙塔的距离为，机动车行驶速度为． （1）这两名旅客从招商证券大厦行驶到市图书馆用时多少秒