4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用 （精品课堂）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【精彩三年】课程探究与巩固课件PPT（人教版）浙江专用

浙江良品图书有限公司 精彩三年课程与巩固·数学·选择性必修第二册 第四章 数列 4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的性质及实际应用 单击此处编辑母版文本样式 1 [课程目标] 1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数 列的重要性质； 2.能够运用等差数列的性质解决相关问题； 3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题． 单击此处编辑母版文本样式 由等差数列{an}的通项公式an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_____．当d____0时，{an}为递增数列；当d____0时，{an}为递减数 列；当d____0时，{an}为常数列． [研读]在直线y＝kx＋b(k，b为常数)上取点Pn(n，yn)(n∈N*)，则{yn}是等差数列，公差为k. 斜率 > < ＝ 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 已知数列{an}是等差数列． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)⇒___________________； 特别地，若m＋n＝2p，则_____________(m，n，p∈N*)； (2)若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，ap，an也成 等差数列； (3)数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列； (4)若{bn}为等差数列，则 也是等差数列. am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap 单击此处编辑母版文本样式 [研读]以上性质都可由等差数列的定义和通项公式推导出来；除了以上性质之外，还有一些性质，如：等差数列的奇数项、偶数项各自构成等差数列，且公差是原数列公差的2倍． 单击此处编辑母版文本样式 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)在等差数列{an}的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (2)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*).(　　) (3)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．( 　) (4)周期数列不可能是等差数列．(　　) (5)在等差数列{an}中，若m＋n＝p，则am＋an＝ap.(　　) (6)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t，则am＋an＋ap＝3at.( 　) × √ × √ × √ 单击此处编辑母版文本样式 　已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 等差数列运算的两种常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然 后求其他量； (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 单击此处编辑母版文本样式 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝_______； (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33， 则a3＋a6＋a9＝____． 【解析】 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20. (2)方法一：由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8， a3＋a6＋a9是等差数列， 所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)， 则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27. 20 27 单击此处编辑母版文本样式 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7) ＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7) ＝3d ＝－6， 解得d＝－2， 所以a3＋a6＋a9 ＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d ＝27. 单击此处编辑母版文本样式 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 等差数列