6.2.3 向量的数乘运算（精品课堂）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【精彩三年】课程探究与巩固课件PPT（人教版）浙江专用

浙江良品图书有限公司 精彩三年 课程探究与巩固 数学 必修第二册 第六章　平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算 6．2.3　向量的数乘运算 单击此处编辑母版文本样式 1 [课程目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义； 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运 算律进行向量运算； 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能 熟练地运用这些知识解决有关共线向量的问题． 单击此处编辑母版文本样式 实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的 _______，记作____，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_______． (2)当_______时，λa的方向与a的方向相同；当________时，λa的 方向与a的方向相反． 向量 数乘 λa |λ||a| λ>0 λ<0 单击此处编辑母版文本样式 [研读](1)λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量．另外，λa＝0 的条件是λ＝0或a＝0. (2)对于向量λa(a≠0)的长度： ①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段 在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|. 【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)实数与向量相乘，结果仍是向量．(　　) (2)－3a的模是a的模的3倍且其方向与a的方向相反．(　　) √ √ 单击此处编辑母版文本样式 1．向量数乘的运算律：设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝________； (2)(λ＋μ)a＝____________； (3)λ(a＋b)＝____________； 特别地，有(－λ)a＝________＝________； λ(a－b)＝____________． 2．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线 性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝________________． [研读]向量的数乘运算律可以类比实数的乘法运算律来理解． (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb λμ1a±λμ2b 单击此处编辑母版文本样式 【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)向量数乘的运算律与实数乘法的运算律相同．(　　) (2)3a＋5a＝8a．(　　) (3)－2a＋3b－4a＋2b＝－6a＋5b．(　　) √ √ √ 单击此处编辑母版文本样式 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____________． [研读]为什么共线向量定理中规定a≠0? 理由：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa； (3)若a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa． b＝λa 单击此处编辑母版文本样式 【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)－2a与3a是共线向量．(　　) (2)若b＝λa，则a与b共线．(　　) √ √ √ 单击此处编辑母版文本样式 例1 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中要注意多观察，恰当地运用运算律简化运算． 单击此处编辑母版文本样式 计算：(1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝________________； －10a＋4b 单击此处编辑母版文本样式 例2 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 例3 A，B，D 1 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 有关三点共线，通常转化为三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． 单击此处编辑母版文本样式 －8 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 1．设a是非零向量，λ是