第４章　因式分解　期末复习讲义　2021—2022学年浙教版数学七年级下册

第四章 因式分解 知识点一 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 其实质是多项式的恒等变形，和整式乘法是互逆关系. 【典例1】下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x3+x2＝x（x2+x） C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 【解析】解：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， 故选：C． 【变式训练】 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4 B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2﹣4y2＝（x﹣2y）2 D．axy﹣ay2＝ay（x﹣y） 知识点二 提公因式法因式分解 1.公因式：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把公因式提取出来进行因式分解. 3.提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式； （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式 4.填括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。 【典例2】多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是（　　） A．0 B．4 C．3或﹣3 D．1 【变式训练】 1．代数式x4﹣81，x2﹣6x+9的公因式是（　　） A．x+3 B．x﹣3 C．（x﹣3）2 D．x2﹣9 2．多项式x2﹣1与（x﹣1）2的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 3．因式分解：（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y）＝　 　． 4．因式分解：3x﹣x2＝　 　． 5.（1）因式分解：（x﹣y）（3x﹣y）+2x（3x﹣y）； （2）设y＝kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值．若不能，请说明理由． 知识点三 公式法因式分解 平方差公式： 完全平方公式： 是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式， 利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式。 【典例3】分解因式 （1）16a2﹣1 （2）x2+14x+49 【变式训练】 1．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．4x2+y2 B．﹣4x2+y2 C．﹣4x2﹣y2 D．4x3﹣y2 2．分解因式：b2﹣6b+9＝　 ． 3．因式分解：4x2﹣9＝　 　． 4．因式分解：﹣2m2n+16mn﹣32n＝　 　 5．分解因式：3x2+6xy+3y2＝　 　． 6．计算：101×1022﹣101×92＝ 　． 7．分解因式： （1）2x2﹣8 （2）4a2﹣3b（4a﹣3b） 8．因式分解 （1）（3m﹣2n）2﹣（m+4n）2 （2）2x3﹣2x2y+ 【三年期末真题练习】 1．（1）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2． （2）先化简，再求值：（1﹣），其中x＝2020． 2．已知x2+kx+12＝（x+a）（x+b），x2+kx+15＝（x+c）（x+d），其中a，b，c，d均为整数．则k＝　 　． 3．若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个正整数的平方，这个正整数为 　 ．（用含n的代数式表示） 4．阅读理解： 在教材中，我们有学习到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：x2+1　 　2x；﹣9　 　x2﹣6x． 【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式a2﹣2ab+2b2和a﹣的大小关系，并请说明理由． 5．多项式x3﹣5x2﹣3x﹣y中，有一个因式为（x﹣5），则y的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣3 D．3 【巩固练习】 1．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+