第七章 随机变量及其分布 专题07 与其他章节联系的解答题专练-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第7章 随机变量及其分布 专题07 与其他章节联系的解答题专练 数学知识之间存在着纵向和横向的有机联系，这些知识的交汇点往往是各类考试命題的“热点”。概率内容是数学知识的综合应用，也是高中数学知识—个重要的交汇点,已经成为联系多项知识的媒介。特别是随机变量及其分布列相关的概率解答题，由于条件多、背景新颖、阅读量较大，已成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大。 【题型导图】 类型一 与函数交汇 例1：（2022·山东·邹平市）垃圾分类，是指按一定标准将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. (1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率； (2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由. 【变式1】（2022·江苏·泰州）幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． (1)若，求取出的产品中次品不超过1件的概率； (2)记，则当n为何值时，取得最大值． 【变式2】（2022·湖南·高二）2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），，[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表． 时长/ [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12] 频数 5 10 25 35 15 10 (1)若将频率作为概率，从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率； (2)现从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求的分布列和数学期望； (3)若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期间积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴（）： 时长/ [0，4） [4，8） [8，12] 补贴（元） 0 若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：） 【变式3】（2022·广东·广州市）已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P b a (1)求的取值范围； (2)当a为何值时，取最大值？并求出的最大值. 类型二 与数列交汇 例2.（2022·江西·景德镇）某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为. (1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求； (2)请写出与的递推关系，求数列的通项公式. 【变式1】（2022·全国·高二）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为. (1)求，，和； (2)写出的递推公式，并指出增减性. . 【变式2】（2022·山东·青岛）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获