第11讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第11讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 　　名称 几何体　　　　 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) V＝S底h 台　体 (棱台和圆台) V＝(S上＋S下＋)h ( 方法 技巧 ) 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 ( 能力拓展 ) 题型一：柱体体积的有关计算 一、填空题 1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的2倍，且CD = 2，则该曲池的体积为 _________ . 2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 3．（2021·上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为_______________ 4．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）圆柱的母线长为4cm，底面半径为2cm，则体积为_____________. 5．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________． 6．（2021·上海·闵行中学高二期中）底面半径为3，高为4的圆柱体积为________． 二、解答题 7．（2021·上海浦东新·高二期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积.（精确到） 8．（2021·上海市进才中学高二期中）正四棱柱，的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的侧面积和体积. 题型二：锥体体积有关计算 一、填空题 1．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）若一个四面体各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，在所有可能的四面体中，计算四面体的体积，请写出两个符合条件的四面体的体积________（不必写出所有符合条件的四面体的体积） 2．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，点M、N分别为、中点，由点A、M、N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为 _________ . 3．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为1，则它的体积为___________． 4．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，已知斜三棱柱的体积是12，点P为棱上任意一点，则四棱锥的体积为______． 5．（2021·上海中学高二期中）的三边，，，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，沿DF、EF、ED将，，折起，使得A、B、C重合于P，则四面体P−DEF的体积为______ 二、解答题 6．（2022·上海市行知中学高二期中）如图，在直三棱柱中，已知，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的余弦值. 7．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2. (1)求正四棱锥P - ABCD的体积； (2)求正四棱锥P - ABCD的表面积. 题型三：台体体积有关计算 一、单选题 1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（　　） A．杨辉 B．刘微 C．祖暅 D．李淳风 二、填空题 2．（2021·上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为3，两底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积为______ 3．（2021·上海交大附中高二期中）如图，，，，，那么直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________. 4．（2021·上海市行知中学高二期中）已知三棱台的上底面的面积是，下底面的面积是，高是，则三棱锥的体积是 ___． 三、解答题 5．（2021·上海·高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是（及其内部）绕所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形（及其内部）绕所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设的半径为，的半径为，. （1）求证：圆台的体积； （2）若，，，求圆台的表面积. ( 巩固 提升 ) 一、