单元素养强化(一) 计数原理（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

单元素养强化(一)　计数原理 [对应学生用书P123] 1．A－C＝(　　) A．6　　　　B．12　　　　C．18　　　　D．20 C　 [A－C＝4×3×2－＝18.] 2．(多选题)设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的展开式中xk的系数可能是(　　) A．10 B．40 C．50 D．80 ABD　[展开式中xk的系数为C25－k，所以不可能为50.] 3．某市正在建设最具幸福感城市，原计划沿河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 C　[利用间接法，任选中间5个公园中的2个，再减去相邻的4个，故有C－4＝6(种)调整方案．] 4．若的展开式中含x项的系数为280，则a＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． C　[Tr＋1＝Cx7－r＝Cx7－2r，由7－2r＝1，得r＝3.所以C＝280，解得a＝－.] 5．(多选题)对于的展开式，下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64 C．常数项为1 215 D．二项式系数最大的项为第3项 ABC　[的展开式所有项的二项式系数和为26＝64，选项A正确； 中令x＝1得＝64，选项B正确； 展开式通项为Tk＋1＝C(x2)6－k＝(－3)kCx12－3k, 令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1 215，选项C正确； 二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确．] 6．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有1个被选中的不同选法的种数是________． 60　[从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目，不同选法共有C×C＝90(种)，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有C×C＝30(种)，所以重点项目A和一般项目B至少有1个被选中的不同选法的种数是90－30＝60.] 7．已知(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________． 1或－3　[由题设知a0＝1，令x＝1，得a1＋a2＋…＋a6＝(1＋m)6，即(1＋m)6＝64.故1＋m＝±2，即m＝1或－3.] 8．一只青蛙开始时在正六边形ABCDEF的顶点A处，它每次可随意地跳到相邻的两个顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有________种． 26　[青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点，故青蛙的跳法只有下列两类：第一类，青蛙跳3次到达D点，有A→B→C→D，A→F→E→D共2种跳法．第二类，青蛙跳5次后停止，那么前3次的跳法一定不能到达D，只能到达B或F，则共有A→F→E→F，A→B→A→F，A→F→A→F，A→B→C→B，A→B→A→B，A→F→A→B，共6种跳法．而后2次跳法各有4种，例如，由点F出发的有F→E→F，F→E→D，F→A→F，F→A→B，共4种跳法．因此共有6×4＝24(种)跳法．综上，共有24＋2＝26(种)不同跳法．] 9．已知二项式(1－x)10. (1)说明展开式的中间项是第几项，并写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和． (3)写出展开式中系数最大的项． 解　(1)由题意可知r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6＝C(－x)5＝－252x5. (2)展开式中各二项式系数之和为210＝1 024. (3)展开式中中间项T6的系数为负， 所以展开式中系数最大的项T5和T7， T5＝T7＝C(－x)4＝210x4. 10．已知(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C). (1)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. (2)求－a10＋a8－a6＋a4－a2. 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125. (2)令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i. 整理，得(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋