精品解析：河南省南阳市2021-2022学年高二下学期期中质量评估数学（理）试题

2022年春期高中二年级期中质量评估 数学试题（理） 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，a，b∈R，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 利用反证法证明“已知，求证：，，，，中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A. ，，，，均不大于20 B. ，，，，都小于20 C. ，，，，不都大于20 D. ，，，，至多有一个小于20 4. 若是的切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 5万元 D. 6万元 7. 在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为 A. B. C. D. 8. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 利用数学归纳法证明不等式（）的过程，由到时，左边增加了（ ） A k项 B. 项 C. 项 D. 项 10. 已知函数在内有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ） A. 153 B. 190 C. 231 D. 276 12. 若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. ________ 14. 已知复数，则______． 15. 已知函数（其中为自然对数的底数）在x＝1处取得极小值，则a的取值范围是______． 16. 已知e为自然对数底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立．则的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数（i是虚数单位）是关于x的实系数方程根. (1)求的值； (2)复数满足是实数，且，求复数值. 18. （1）设，用综合法证明：． （2）设，求证：． 19. 已知两曲线和都经过点，且点P处有公切线． （1）求a，b，c的值； （2）求公切线所在的直线方程； （3）若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 20. 新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x万件（每件5个口罩）的利润函数为（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据，） （1）当每月生产5万件口罩时，利润约多少万元？ （2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 21. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数（），若在上为增函数，求实数a的取值范围． 22. 如图，、、、（）是曲线C：上的n个点，点（i＝1，2，3，，n）在x轴的正半轴上，且是等腰直角三角形，其中为直角顶点，是坐标原点． （1）写出、、； （2）猜想点（）的横坐标关于n的表达式，并用数学归纳法证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年春期高中二年级期中质量评估 数学试题（理） 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，a，b∈R，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意， 所以， 所以. 故选：A 2. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的求导公式及导