2.4 一元二次方程根与系数的关系（课件PPT）-【教材解读】八年级下册初二数学（浙教版）

2.4 一元二次方程根与系数的关系 智能云平台让教与学更简单——五好导学 掌握一元二次方程根与系数的关系式，理解一元二次方程的根与系数关系的推导过程； 能运用根与系数的关系由已知方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、平方和，两根之差. 学习目标 复习引入 解下列方程： (1) x2-12x+11=0. (2) 2x2-13x=0. (3) 4x2+20x+25=0. 解：(1) 移项，得x2-12x=-11， 方程两边同时加上36，得x2-12x+36=-11+36，即(x-6)2=25. 则x-6=5，或x-6=-5， (2) 将方程的左边分解因式，得x(2x-13)=0， 则x=0，或2x-13=0， 解得x1=1，x2=11. 解得x1=0，x2=. 复习引入 解下列方程： (1) x2-12x+11=0. (2) 2x2-13x=0. (3) 4x2+20x+25=0. (3) 对方程4x2+20x+25=0， a=4，b=20，c=25，b2-4ac=202-4×4×25=0， ∴x= =-， ∴x1=x2=-. 计算这些方程的两根之和与两根之积，你发现了什么？ 探究学习 探究 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2-12x+11 = 0 1 11 2x2-13x=0 0 4x2+20x+25=0 - - 方程的两根之和与两根之积和它们的系数有什么关系？ 12 11 0 -5 猜想 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2，那么x1+x2=___，x1x2=___. 你能证明上面的猜想吗？ 证明 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则 x1= ，x2= . - x1+ x2 = + = = ； x1 x2 = · = = = . 结论 一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么x1+x2= ， x1· x2 = . 如一元二次方程这样的方程根与系数的关系是法 国数学家韦达发现的，人们称之为韦达定理. 典例精讲 例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求+和+的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 x1+ x2 = ，x1· x2 = -. ∴ + = (x1+ x2 )2-2x1· x2 = () 2-2×(-) = ； + = = ÷(-) = ×(-) = . 在解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，不必先求出方程的根. 拓展：常见的涉及一元二次方程的两个根x1，x2的代数式的重要变形有： ① + = (x1+ x2 )2-2 x1· x2 ；② + = ； ③ + = ；④ (x1-x2)2 = (x1+x2)2-4x1·x2； ⑤ (x1+k)(x2+k) = x1·x2+k(x1+x2)+k2； ⑥ |x1-x2| = = . 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1. 写出这个方程. 解：设这个方程为3x2+bx+c =0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 - = +1= ，解得b =-4 ； = ×1= ，解得c =1. 所以这个一元二次方程是3x2 -4x+1=0. 已知一元二次方程两根的关系求待定字母的值时， 先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积， 然后将已知两根的关系式进行变形， 再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母 为未知数的方程，进而求得待定字母的值． 随堂练习 1.已知x1，x2是一元二次方程x2-x=1的两根，则x1·x2的值是(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：移项，得x2-x-1=0， 由一元二次方程的根与系数的关系，得x1·x2= -1. 求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关系求出两根的和与积． C 2.以方程x2+3x-5=0的两个根的相反数为根的方程是( ) A. y2+3y-5=0 B. y2-3y-5=0 C. y2+3y+5=0 D.y2-3y+5=0 解析：设原方程两根为x1 ，x2 ， 由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2= -3，x1·x2= -5. 新方程的两根之和为(-x1)+(-x2)= -(x1+x2)= 3， 新方程的两根之积为(-x1)·(-x2)=