秘籍07 锐角三角函数实际应用-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍0 7 锐角三角函数实际应用 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①根据已知条件直接求出所需要边的长度。 ②需要用方程思想，才能求出边的长度。 锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。 1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。 2．从题型角度看，以计算和解答题为主，分值9分左右！ 一、特殊角的三角函数值 三角函数 定义 30° 45° 60° sin cos tan 二、仰角和俯角的定义 三、坡比的定义 坡比==tanα 锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定要记得设未知数，利用方程思想。 例1、（2021·湘西）计算： . 【答案】解：原式= 【解析】【分析】利用绝对值的性质、零指数幂法则、二次根式的性质、特殊角三角函数值进行计算即可. 例2、（2021·郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣ |+（ ）﹣1•tan60°. 【答案】解：解：原式＝1﹣（2 ﹣2）+2× ＝1﹣2 +2+2 ＝3. 【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质可将原式变形为 1-(2 -2)+2× ，据此计算. 例3、（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ） 【答案】解：由题意得： ， ∴CH=BH， 设CH=BH=xm，则有 m， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ m. 【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可. 例4、（2021·郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度. （参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24.结果精确到0.1米） 【答案】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示： 则四边形AMBN是矩形， ∴AN＝BM，BN＝MA， ∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝ ， ∴设BM＝x米，则AM＝2x米， ∴AB＝ ＝ ＝ x＝105， ∴x＝21 ， ∴AN＝BM＝21 （米），BN＝AM＝42 （米）， 在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°， ∴△BCN是等腰直角三角形， ∴AN＝BN＝42 （米）， ∴AC＝AN+CN＝21 +42 ＝63 ≈141.1（米）， 答：观光电梯AC的高度约为141.1米. 例5、9．（2021·内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度.如图所示，测得斜坡 的坡度 ，坡底 的长为8米，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，求树高 .（结果保留根号） 【答案】解：作 于点 ，设 米， 在 中， ， 则 （米 ， ∵ ，且AE=8 ∴ ∴ 在直角 中， 米， 在直角 中， ， 米. ，即 . 解得： ， 则 米. 答： 的高度是 米. 【解析】【分析】过点B作BF⊥DC于点F，设DF=x米，利用解直角三角形表示出BF的长，再根据AB与AE的比值可求出AB的长，再表示出DC的长；再利用解直角三角形表示出EC的长，根据BF-CE=AE，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长. 例6、我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，求此时渔船与灯塔B的距离． 【答案】解：如图，作CE⊥AB于E， ∴AC＝9km， ∵∠CAB＝45°， ∴CE＝AC•sin45°＝9km， ∵灯塔B在它的南偏东15°方向， ∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°，