秘籍10 图形与变换的探究-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍10 图形与变换的探究 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆ 考向预测 ①全等类型类比探究。 ②相似类型类比探究。 图形与变换的探究是全国中考的热点！全国各地的中考数学试题都把图形与变换的探究作为压轴题之一。 1．从考点频率看，三角形和四边形的综合探索与证明是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约10分。 手拉手全等模型 类型一：共顶点的等腰直角三角形 手拉手全等模型 类型二：共顶点的等边的三角形 手拉手全等模型 类型三：共顶点的正方形 手拉手相似模型一 手拉手相似模型二 解答类比探究问题，一般是先确定题中不变模型，再应用不变结构去解决新的问题，如果是常见的结构，如平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构等，则用结构的模型类比解决。若不属于常见的结构类型，则需要尝试着去寻找不变结构解决问题。 例1、（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E． （1）求证：； （2）若AD=4，则ME的长是　 　． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，， ，， ， 在和中， ， ， （2） 【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可； （2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可 例2、（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH. （1）求证：BE＝CF； （2）若AB＝6，BE BC，求GH的长. 【答案】（1）证明：在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠BPE=90°， ∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°， ∴∠BAP=∠FBC， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF （2）解：由题意，在正方形ABCD中， ∵AB＝6，BE BC， ∴ ， ， ∴ ， ∵G为AD的中点， ∴ ， ∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP， ∴△ABE∽△BPE， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵∠APB=90°， ∴ ， ∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°， ∴∠APG =∠HPB， ∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°， ∴∠GAP=∠ABP， ∴△APG∽△BPH， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 在直角三角形AGH中，由勾股定理，则 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论. （2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长 例3、（2021·福建）如图，在正方形 中，E，F为边 上的两个三等分点，点A关于 的对称点为 ， 的延长线交 于点G. （1）求证： ； （2）求 的大小； （3）求证： . 【答案】（1）证明：设直线 与 相交于点T， ∵点A与 关于 对称， ∴ 垂直平分 ，即 . ∵E，F为 边上的两个三等分点， ∴ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ，即 . （2）解：连接 ，∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ . 取 的中点O，连接 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴点 ，F，B，G都在以 为直径的 上， ∴ . （3）证明：设 ，则 . 由（2）得 ， ∴ ，即 ，∴ . 设 ，则 ，在 中，由勾股定理，得 ， ∴ . 在 中，由勾股定理，得 . 又∵ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ . 由（2）知， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【解析】【分析】（1） 设直线 与 相交于点T， 根据对称性可得 ，由E，F为 边上的两