第17讲 立体几何初步(线面垂直的判定与性质)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第17讲 线面垂直的判定与性质 【必备知识】 1.直线与平面垂直的判定定理: 直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. 2.直线与平面垂直的性质定理: 直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 3.直线与平面垂直的其他性质 (1)垂直于同一条直线的两个平面相互平行 (2)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么他必垂直于另一个平面 4.两个平面垂直的判定定理: 两个平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. . 5.两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 6.异面直线所成的角 通过平移转化为求相交直线所成的锐角或直角,范围:. 常用方法有:平移法和向量法. (或其补角) 为异面直线A B与E F所成的角(或夹角). 7.直线与平面所成的角 主要掌握斜线与平面所成的角(即斜线和它在该平面上的射影所夹的锐角). 范围. 【为P A与平面所成的角】 8.二面角的平面角 二面角的大小是用其平面角来度量的.范围. 确定平面角的方法: (1)定义法, (2)垂面法, (3)三垂线定理法. 【是二面角的平面角.】 9.空间中的距离 (1)点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 (2)直线和平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离 (3)平行平面之间的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做两个平行平面间的距离. (4)异面直线间的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度叫做两条异面直线间的距离. 【能力拓展】 一.证明线线垂直的方法: (1) 利用定义:同一平面内两直线相交成直角时,两直线互相垂直;异面直线所成的角为直角时,两条异面直线互相垂直. (2) 利用线面垂直的定义,即,则. (3) 利用平行转化,即,则. 【典例1】 所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A—BCD中，求证：AB⊥CD. 【答案】见解析 【解析】 取的中点为，连接，， 因为四面体为正四面体，故为等边三角形， 故，同理， 而，故平面， 因为平面，故. 【典例2】 已知圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，，是垂足，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 正方形是圆柱的轴截面，为底面直径，平面， 平面，，又为底面直径，， 平面，，平面， 又平面，， ，，平面，平面， 平面，. 二.证明线面垂直的方法 (1) 利用面面垂直的性质定理: 两平面垂直, 在一个平 面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面. (2) 利用线面垂直的判定定理: 证一条直线与一平面 内的两条相交直线都垂直. (3) 利用平行线垂直于平面的传递性: . (4)利用面面平行的性质: . 【典例3】 如图所示，在四面体ABCD中，棱，其余各棱长都为1，E为CD的中点，求证： (1)平面ABE； (2)平面BCD． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解析】 (1)由已知可得AD＝AC＝CB＝BD，且E为CD的中点， 所以CD⊥AE，CD⊥BE．又，所以CD⊥平面ABE． (2)由，其余各棱长都为1，可得∠DAC＝90°，∠DBC＝90°． 由E为CD的中点，可得，AE⊥CD． 因为AB＝1，所以，所以AE⊥BE． 又AE⊥CD，，所以AE⊥平面BCD． 【典例4】 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 【答案】见解析 【解析】 E，F分别是棱，的中点， 在Rt△和Rt△中，， 所以Rt△ Rt△，所以△， 因为，所以， 所以，即， 又因为正方体中，平面,平面， 所以，和平面EAB内的两条相交直线， 所以平面EAB. 三.证明平面与平面垂直的方法 1. 利用平面与平面垂直的定义来证明. (1)找出两相交平面的平面角 (2)证明这个平面是直角 (3)根据定义,这两个相交平面相互垂直 2.利用平面与平面垂直的判定定理:若一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面相互垂直 3.若一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面相互垂直 【典例5】 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 (1)因为，为的中点，所以. 因为底面为矩形，所以，所以. (2)因为底面为矩形，所以. 又因为平面平面，所以平面