第16讲 立体几何初步(线面平行的判定与性质)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第16讲 线面平行的判定与性质 【必备知识】 1.直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 2.直线与平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 3.两个平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 两个平面平行的判定推论1: 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线, 那么这两个平面平行 两个平面平行的判定推论2：垂直同一条直线的两个平面平行.. 4.两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 5.两个平面平行的其他性质： (1)如果两个平面平行, 则其中一个平面内的任意直线都平行另一个平面. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (3)两条直线被三个平面所截,截得的对应线段成比例 (4)如果两个平面分别平行于三个平面,那么这两个平面相互平行 【能力拓展】 一.证明线线平行的常用方法: 1.利用线线平行的定义:在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线. 2.利用基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行. 3.利用三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半. 4.利用平行线分线段成比例定理. 5.利用线面平行的性质定理. 6.利用面面平行的性质定理。 7.利用反证法:假设两条直线不平行, 然后推出矛盾, 进而得出两条直线是平行的. 【典例1】 在棱长为1的正方体中，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．求证：． 【详解】 证明：由正方体的性质，得，且，所以四边形为平行四边形，从而． 又平面，平面，所以平面． 又平面，且平面平面，所以． 【典例2】 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC＝90°，BC＝CDAD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．求证：BEFG； 【详解】 （1）证明：因为E为AD中点， 所以． 又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC， 所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD． 又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD， 所以BE平面PCD． 因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG， 所以BEFG． 二.证明线面平行的常用方法 1.利用线面平行的定义:直线与平面没有公共点. 2.利用直线与平面平行的判定定理:,则.使用定理时,一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”,若不注明,则证明过程不完整.因此,要证明,则先说明,再在平面 内找一条直线,使得,从而达到证明的目的,这三个条件缺一不可. 3.利用面面平行的性质:若平面平面,直线,则. 4.利用反证法.空间中“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种,只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论,在这一点上往往容易出错,应引起重视. 【典例3】 如图，已知OA、OB、OC交于点O，，，E、F分别为BC、OC的中点．求证：平面AOC． 【详解】 证明：在中，，分别为，的中点， 且 又，，由平行公理和等量代换知，， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. 【典例4】 已知正方体中，E、F是BD、的中点．求证： (1)平面； (2)． 【解析】 (1)连接，则与必交于，即也是中点， 所以在△中，而面，面，则平面； (2)在正方体中，，由（1）知：，故. 【典例5】 如图，已知点P在平面四边形ABCD外，且平面ABCD，E是PD的中点，，，，求证：平面． 【详解】 设F为AD的中点，连接CF,EF , 因为，， , 故 为正三角形，则 , 而，故平面PAB, 故平面PAB, 又E是PD的中点，F为AD的中点， 故 平面PAB, 故平面PAB, 而 平面EFC, 故平面EFC平面， 由 平面EFC,故平面． 三.平面与平面平行的判定方法 1.根据定义:证明两个平面没有公共点. 2.根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,则这两个平面平行. 3.根据判定定理的推论:在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行,则这两 个平面平行. 4.根据平面平行的传递性:若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面平行. 5.利用反证法. 【典例6】 如图，在正方体中，E、F、G分别是棱AB、、的中点，H为BE的中点．求证：平面平面HFC 【解析】 ∵H、F分别是BE、的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 同理由，平面，平面，得平面． 又∵，平面