7.1 复数的概念（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材高一下册数学必修第二册新课程同步学习指导（人教版）

数学（必修·第二册 RJA） 第七章　 复数 7. 1　 复数的概念 7. 1. 1　 数系的扩充和复数的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. 虚数单位　 - 1　 {a + bi | a,b∈R} 　 2. 实部 　 虚部　 3. a = c 且 b = d 　 　 知识点 2　 1. 实数　 虚数 关键能力·攻重难 　 　 典例 1:(1)B　 对于①,当 z∈R 时,z2 ≥0 成立,否则不成 立,如 z = i,z2 = - 1 < 0,所以①为假命题; 对于②,2i - 1 = - 1 + 2i,其虚部为 2,不是 2i,所以②为假 命题; 对于③,2i = 0 + 2i,其实部是 0,所以③为真命题. (2) ± 2,5　 由题意得:a2 = 2, - (2 - b) = 3, 所以 a = ± 2,b = 5. (3)①由于 x,y 都是复数,故 x + yi 不一定是代数形式,因 此不符合两个复数相等的充要条件,故①是假命题. ②当 a = 0 时,ai = 0 为实数,故②为假命题. ③由复数集的分类知,③正确,是真命题. 　 　 对点练习 1:③　 ①错,复数由实数与虚数构成,在虚数中 又分为纯虚数和非纯虚数. ②错,只有当 m,n∈R 时,才能说复数 z = 3m + 2ni 的实部 与虚部分别为 3m,2n. ③正确,复数 z = x + yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是 x = 0 且 y≠0,只要 x≠0,则复数 z 一定不是纯虚数. ④错,只有当 a∈R,且 a≠ -3 时,(a + 3)i 才是纯虚数. 　 　 典例 2:(1)当 z 是实数时,应有m 2 - 2m - 8 m = 0, 即 m 2 - 2m - 8 = 0, m≠0,{ 解得 m = 4 或 - 2; (2)当 z 是虚数时,应满足m 2 - 2m - 8 m ≠0, 即 m 2 - 2m - 8≠0, m≠0,{ 因此 m≠4,且 m≠ -2,且 m≠0; (3)当 z 是纯虚数时,应满足 m2 - 2m = 0, m2 - 2m - 8 m ≠0,{ 解得 m = 2. 　 　 对点练习 2:(1)由条件得 m 2 - 2m - 15 = 0, m + 3≠0,{ ∴ m = 5 或 m = - 3,m≠ -3.{ ∴ 当 m = 5 时,z 是实数. (2)由条件得 m 2 - 2m - 15≠0, m + 3≠0.{ ∴ m≠5 且 m≠ -3,m≠ -3.{ , ∴ 当 m≠5 且 m≠ -3 时,z 是虚数. (3)由条件得 m2 - m - 6 = 0, m + 3≠0, m2 - 2m - 15≠0,{ ∴ m = 3 或 m = - 2, m≠ -3, m≠5 且 m≠ -3.{ ∴ 当 m = 3 或 m = - 2 时,z 是纯虚数. 　 　 典例 3:设 y = bi(b∈R 且 b≠0)代入(3x - 10) + i = y - 3i, 整理得(3x - 10) + i = bi - 3i, 由复数相等的充要条件得 3x - 10 = 0,1 = b - 3,{ 解得 x = 103 , b = 4,{ ∴ x = 103 ,y = 4i. 　 　 对点练习 3:(1) - 1　 ∵ z = 0,∴ a + 1 = 0a2 - 1 = 0{ , 解得 a = - 1. (2)C　 易知 4 - 3a = a 2 - a2 = 4a,{ 解得 a = - 4. 　 　 典例 4:(4)　 命题(1)和(2)都是错误的,原因是没有 x,y ∈R,a,b∈R 的限制条件,因此相应结论都是错误的;命题(3) 也是错误的,事实上,当(x2 - 4) + (x2 + 2x) i 是纯虚数时,应有 x2 - 4 = 0, x2 + 2x≠0{ ,所以 x = 2;(4)是正确的,因为由 3x + mi < 0 可得 3x < 0, m = 0,{ 即 x < 0. 课堂检测·固双基 1. C　 (1 + 3)i 可看作 0 + (1 + 3)i = a + bi, 所以实部 a = 0,虚部 b = 1 + 3. 2. - 23 　 由条件知 m(m + 4) m - 1 = m + 2, ∴ m2 + 4m = m2 + m - 2,∴ m = - 23 . 3. - 1　 以 A∩B = {3}为解题突破口,按题意 a2 - 3a - 1 + (a2 - 5a - 6)i = 3, ∴ a 2 - 3a - 1 = 3, a2 - 5a - 6 = 0.{ 解得 a = - 1. 4. - 3　 ∵ z < 0,∴ m 2 - 9 = 0 m + 1 < 0{ ,∴ m = - 3. 5. 由