6.4 平面向量的应用（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材高一下册数学必修第二册新课程同步学习指导（人教版）

数学（必修·第二册 RJA） ∴ | c | 2 = c2 = (1 - 3λ) 2 + (2 + 4λ) 2 = 25λ2 + 10λ + 5 = 25 λ + 15( ) 2 + 4. 当 λ = - 15 时, | c | min = 2. (2)设 a 的坐标为(x,y),由题意得 2x - y = 0, x2 + y2 = 10,{ 解得 x = 2 5, y = 4 5{ 或 x = - 2 5, y = - 4 5.{ 所以 a = (2 5,4 5)或 a = ( - 2 5, - 4 5) . 　 　 典例 3:(1)由题意知, | a | = 1, | b | = 1, a· b = - 12 cos α + 3 2 sin α, 则 cos θ = a·b | a | | b | = - 12 cos α + 3 2 sin α 1 × 1 = - 1 2 cos α + 3 2 sin α = cos(120° - α) . ∵ 0°≤α≤90°,∴ 30°≤120° - α≤120°. 又 0°≤θ≤180°,∴ θ = 120° - α, 即两向量的夹角为 120° - α. (2)证明:∵ (a + b)·(a - b) = cos α - 12 ,sin α + 3 2( )· cos α + 1 2 ,sin α - 3 2( ) = cos α - 12( ) cos α + 1 2( ) + sin α + 3 2( )· sin α - 32( ) = cos2α - 14 + sin 2α - 34 = 1 - 14 - 3 4 = 0, ∴ (a + b)⊥(a - b) . 　 　 对点练习 3:(1) ± 3　 (a + λb)⊥(a - λb)⇒(a + λb)·(a - λb) = a2 - λ2b2 = 0⇒18 - 2λ2 = 0⇒λ = ± 3. (2 ) 10 　 因 为 a = ( - 2, - 6 ), 所 以 | a | = ( - 2) 2 + ( - 6) 2 = 2 10. 又 | b | = 10,向量 a 与 b 的夹角 为 60°, 所以 a·b = | a | | b | cos 60° = 2 10 × 10 × 12 = 10. 　 　 典例 4:A　 ∵ a 与 b 的夹角 θ 为锐角, ∴ cos θ > 0 且 cos θ≠1,即 a·b > 0 且 a 与 b 方向不同, 即 a· b = 1 - 2λ > 0, 且 a ≠ mb ( m > 0 ), 解得 λ ∈ ( -∞ , - 2)∪ -2, 12( ),故选 A. 　 　 对点练习 4:由 cos θ < 0 得 x < 85 , 因为 a∥b 时有 - 4x - 10 = 0,即 x = - 52 ,当 x = - 5 2 时, a = (2, - 52 ) = - 1 2 b, 所以 a 与 b 反向,θ = π,故 x < 85 且 x≠ - 5 2 . ∴ x∈ -∞, - 52( )∪ - 5 2 , 8 5( ). 课堂检测·固双基 1. A　 a·b = - x + 6 = 3,故 x = 3. 2. D　 a - b = (1, - 1),所以(a - b)·b = 1 - 1 = 0,所以(a - b) ⊥b. 3. B　 ∵ a = (2,0), | b | = 1,∴ | a | = 2, a·b = 2 × 1 × cos 60° = 1. ∴ | a + 2b | = a2 + 4 × a·b + 4b2 = 2 3. 4. B　 ∵ | a | = 10, | b | = 5,a·b = 5. ∴ cos 〈a,b〉 = a·b| a | | b | = 5 10 × 5 = 22 . 又∵ a,b 的夹角范围为[0,π], ∴ a 与 b 的夹角为 π4 . 5. 5　 - 1　 以点 A 为坐标原点,AB、AD 所在直线分别为 x、y 轴 建立如下图所示的平面直角坐标系, 则点 A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2), AP→ = 12 (AB → + AC→) = 12 (2,0) + 1 2 (2,2) = (2,1), 则点 P(2,1),∴ PD→ = ( - 2,1),PB→ = (0, - 1), 因此, |PD→ | = ( - 2) 2 + 12 = 5,PB→·PD→ = 0 × ( - 2) + 1 × ( - 1) = - 1. 6. 4　 平面向量的应用 6. 4. 1　 平面几何中的向量方法 6. 4. 2　 向量在物理中的应用举例 关键能力·攻重难 　 　 典例 1:法一:设正方形 ABCD 的边长为