专题09 立体几何中的角度、距离、体积问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题09立体几何中的角度、距离、体积问题 【考点预测】 考点一：求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)． (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． (3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 考点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线. (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角. (3)结论——设(2)所求角大小为θ.若，则θ即为所求；若，则即为所求. 考点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 (1)确定斜线与平面的交点(斜足)； (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 考点四：作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角.如图③，为二面角的平面角. 考点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解. 【典型例题】 例1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点A作交SC于点D，以AD为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题： ①； ②平面； ③SA与平面所成角的大小等于； ④AB与SC所成的角等于． 其中正确的是（       ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据阳马的定义得平面，通过证明平面，可得，可判断①；利用，可证平面，可判断②；利用平面，得到是SA与平面所成的角，计算可判断③；根据，可得是AB与SC所成的角，计算可判断④. 【详解】 当几何体为阳马时，平面， 对于①，平面，所以，又，， 故平面，所以，故①正确； 对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确； 对于③，由①知，平面，连，则是SA与平面所成的角， 因为，，所以，故③不正确； 对于④，因为，所以是AB与SC所成的角，因为，所以，故④不正确. 故选：A 例2．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】 （1）由四边形是菱形，得，再由平面，得，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面； （2）（ⅰ）依题意可得，，利用勾股定理求出，，根据，所以即为直线与所成角（或补角），再利用余弦定理求出，即可得解； （ⅱ）依题意是直线与平面所成的角，从而得到，再由勾股定理求出，即可得到菱形的面积，最后根据锥体的体积公式计算可得； (1) 证明：四边形是菱形，， 又平面，平面， ，又，平面， 平面； (2) 解：（ⅰ）平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以即为直线与所成角（或补角）， 又，所以在中由余弦定理， 即，解得，所以为锐角， 即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值； （ⅱ）平面， 是直线与平面所成的角， 于是， ，，又， 所以 菱形的面积为， 故四棱锥的体积． 例3．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）如图，已知四棱锥中，，分别为棱，的中点，平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，，，的面积为. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）结合三角形面积公式可得，则为等边三角形，由等腰梯形，进而可得四边形为菱形，则，结合中位线性质可得；再由线面垂直可得，即可得证； （2）由，利用等体积