专题10 立体几何的综合问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题10 立体几何的综合问题 【典型例题】 例1．（2022·天津·南开中学高一期中）已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于π，则下列结论正确的个数为（       ）． ①四面体ABCD的棱长均为2： ②四面体ABCD的体积等于 ③异面直线AC与BD所成角为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 ①,求出外接球半径与正四面体棱长之间的关系，由外接球体积求出外接球半径，从而求出棱长；②,在①的基础上利用椎体体积公式进行求解；③,作出辅助线，可证明出AC与BD垂直，从而③错误. 【详解】 由题意知，可以设该正四面体的棱长为a， 底面正三角形BCD的中心为G， 该正四面体的外接球的球心为O，半径为R； 则在直角三角形AGB中， . 在直角三角形OBG中，，所以， 由外接球的体积为，可得， 所以，解得：， 故①正确； 由①得：正四面体的高， 故正四面体的体积为，故②正确； 设BD的中点为E，连接AE，CE， 因为三角形ABD与三角形BCD均为等边三角形， 由三线合一得：， 因为， 所以平面AEC， 因为平面AEC， 所以， 故③错误. 故正确的是①②. 故选：C 例2．（2022·全国·高一课时练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（       ） A．14 B．10 C．28 D．14 【答案】C 【解析】 【分析】 根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解. 【详解】 ∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′， ∴原图形是一个直角梯形． 又A′D′＝4， ∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8， 故其面积为. 故选：C 例3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（       ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【解析】 【分析】 连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断. 【详解】 解：如图所示： 连接EH，FG. 因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以GF//BD，且GF＝BD. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以EH//BD，且EH＝BD， 所以EH//GF，且EH≠GF， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M在直线AC上． 故选：D. 例4．（2022·天津·南开中学高一期中）如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】 【分析】 （1）连接，推导出，由此能证明平面． （2）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面． （3）取中点和中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小． (1) 证明：连接，在中， 和分别是和的中点，， 又平面，平面， 平面． (2) 证明：，为中点，， 平面，，平面， ，又，平面，平面， (3) 解：取中点和中点，连接，，， 和分别为和的中点，且， 且，四边形是平行四边形， 且， 又平面，平面， 即为直线与平面所成角， 在中，可得，， ，，且， 又由，， 在中，， 在中，， ，即直线与平面所成角的大小为． 例5．（2022·山东·青岛大学附属中学高一期中）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，E为AB的中点． (1)将四边形ABCD绕着线段AB所在直线旋转一周，求所形成封闭几何体的表面积和体积； (2)将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积． 【答案】(1)表面积为；体积为. (2) 【解析】 【分析】 （1）先判断出得到组合体为上面是一个以ED为底面圆的半径，以AE为高的圆锥，下面是一个等底等高的圆柱.分别套公式求出表面积和体积. （2）先判断出将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体为以ED为底面圆的半径，以AE为高的圆锥. 作出轴截面求出内切球的半径，即可求出球的表面积. (1) 因为，所以. 因为，，E为AB的中点， 所以，所以四边形EBCD为平行四边形. 因为,所以. 将四边形ABCD绕着线段AB所在直线旋转一周，得到一个组合体：上面是一个以ED为底面圆的