专题07 立体几何中的范围与最值问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题07立体几何中的范围与最值问题 【考点预测】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题。根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转。根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围。动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力。 【典型例题】 例1．（2022·湖南师大附中高一期中）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案. 【详解】 连接， 将与同时展平形成一个四边形，如图， 则此时对角线达到最小， 在等腰直角三角形中，，， 在中，，，，所以，即， 对于展开形成的四边形，在中，，，， 由余弦定理有． 故选：A． 例2．（2022·全国·高一单元测试）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意先求出，再由三棱锥的体积为，得到高，再利用正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同， 求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆.当垂直于过的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积. 即可求出过点的平面截球所得截面面积的取值范围. 【详解】 设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， 截面圆半径最小为所以. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A. （多选题）例3．（2022·福建龙岩·高一期中）正方体的棱长为4，动点P，Q分别在棱BC，上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP=x，CQ=y，其中，下列命题正确的是（       ） A．当x=y=2时，S的面积为9 B．当x+y=4，时，S为等腰梯形 C．当x=0时，S为矩形，其面积最大值为 D．当y=4时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由题意可知当，变化时，为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可． 【详解】 对于A，当，时，为的中位线，，，，为等腰梯形，过作于，如图， ,,,,, ，故A不正确； 对于B, 当，时，，即， ，，为等腰梯形，故B正确； 对于C，当时，点与点重合，，如图， 此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，，故C正确； 对于D, 当y=4时，以为顶点, 为底面的棱锥为 当时，以为定点，为底面的棱锥为，如图， ，故D正确． 故选：BCD 例4．（2022·山东菏泽·高一期中）在一个正方形内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使、、、重合于点P，且折叠后的四棱锥（如图2）的外接球的表面积是，则四棱锥的侧棱PA的长为______；若在四棱锥内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______． 【答案】          【解析】 【分析】 确定四棱锥P－ABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长；先求得四棱锥P－ABCD的内切球的半径，那么在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案. 【详解】 连接AC，BD交于点O， 则易得是等腰直角三角形， 则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x， 则外接球的半径是OA=， 所以，，即， 因此， 故四棱锥P－ABCD的体积. 设四棱锥P－ABCD的内切球半径为R， 四棱锥的表面积：， 所以四棱锥的体积， 则 ， 在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a， 则，故， 故a最大为， 故答案为：，. 例5．（2022·湖南师大附中高一期中）在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体