专题08 立体几何中的平行与垂直问题-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08立体几何中的平行与垂直问题 【考点预测】 1.证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2.证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题： ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中正确的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 ①应用反证法：于，于，假设不平行，利用线面垂直的性质及三角形的内角和得到矛盾，即可判断；②③根据线面垂直的性质判断即可. 【详解】 ①如下图，若于，于，假设不平行，则相交，， 令，在任找一点，连接，则为三角形， 由，则，，即，显然不能构成三角形，与假设矛盾， 所以平行，正确. ②由线面垂直的性质定理知：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确； ③由线面垂直的性质知：一条直线与平面垂直，则垂直于平面内所有直线，正确； 故选：D 例2．（2022·河南开封·高一期中）已知直线a，b，平面，则下列命题中正确的是（       ） A．，则 B．，则 C．，则 D．a与b互为异面直线，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】 A选项中，只有直线a与两平面的交线垂直的时候结论才成立； B选项中，还有可能； C选项中，两直线a，b平行或异面； D选项中，过直线a上一点做，则相交直线a，确定一个平面，设为，易得且，所以； 故选：D． （多选题）例3．（2022·河南开封·高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（       ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】 A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到. 【详解】 因为O为底面四边形对角线的交点， 所以O为的中点，由M是的中点，可得， 因为在平面，平面， 所以平面，A正确； 同理可推得平面， 而， 所以平面平面，B正确； 因为平面，故不可能垂直平面，D错误； 设该正四棱锥的棱长为a， 则， 所以， 因为， 所以，C正确. 故选ABC． 例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，三棱台DEF­ABC中， AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点． (1)求证：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由已知，连接DG，CD与FG交与点M，先证明四边形CFDG是平行四边形，从而得到DM＝MC．结合BH＝HC，可证明MH∥BD，再使用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明四边形EFCH是平行四边形，从而得到CF∥HE．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC，再证明GH∥AB，因为AB⊥BC，所以GH⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面EGH，再使用面面垂直的判定定理即可完成证明. (1) 如图所示，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH． 在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF． 因为G是AC的中点， 所以DF∥GC，且DF＝GC， 所以四边形CFDG是平行四边形，所以DM＝MC．因为BH＝HC，所以MH∥BD． 又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH， 所以BD∥