11.1.1空间几何体与斜二侧画法-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第四册)

第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 知识梳理 1.空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 2.直观图 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图.； 3.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°（或135°）. （2）平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半. （3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线。 4.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x′轴与y′轴）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）. 注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆. 常见考点 考点一 斜二侧画法辨析 典例1．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（　　） A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据斜二测画法的规则可判断各个选项. 【详解】 对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误； 对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误； 对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确； 对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误. 故选：C. 变式1-1．下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（       ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】C 【解析】 【分析】 利用斜二测画法的规则，对四个选项一一验证. 【详解】 由直观图的画法规则，可知C中∠x′O′y′可以是45°或135°. 故选：C. 变式1-2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（       ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据斜二测画法的规则可得． 【详解】 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 故选：D. 变式1-3．下列说法中错误的是（       ） A．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行 B．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 C．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 D．斜二测坐标系取的角可能是 【答案】B 【解析】 【分析】 根据斜二测画法的基本要求逐一判断即可. 【详解】 平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误， 由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确， 故选：B. 考点二 斜二侧画法画平面图形的直观图 典例2．在水平放置的平面上有一个边长为的等边，请在平面上画出其直观图，并写出简要作法. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 根据斜二测画法作出图形即可； 【详解】 解：作图 作法：在平面内作坐标系，使， 在轴上取，且为的中点， 在轴上取，联结，， 则是的直观图. 变式2-1．如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点 画出梯形水平放置的直观图                          【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】 利用斜二测画法，画出梯形的直观图； 【详解】 在梯形中， ，画出梯形的直观图，如图中梯形所示， 变式2-2．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图. 【答案】（1）答案见解析；（2）答