第08讲 二面角（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第08讲二面角（核心考点讲与练） ( 考点 考向 ) 二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. ( 方法 技巧 ) 找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面 （4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 ( 能力拓展 ) 题型一：二面角的概念及辨析 一、单选题 1．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a､b与l均不垂直，则（       ） A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 【答案】C 【分析】利用空间中线面间的位置关系求解. 【详解】∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内， 直线b在平面β内，且a､b与l均不垂直， ∴当，且时，由平行公理得，即a，b可能平行，故A与D错误； 当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则，与已知矛盾， ∴a与b不可能垂直，也有可能平行. 故选：C. 2．（2021·上海·复旦附中高二期中）在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点在平面上的射影求解. 【详解】过A作的垂线，分别交，，于M，G，N，如图， 显然. 因为，所以直线与所成角即为. 当在平面上的射影为G时，平面，此时. 于是当在平面上的射影在线段上时，， 所以. 由于，，进而得，. 因为是在平面上的射影， 所以由线面角最小性知，即. 再由二面角的最大性知. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小. 3．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面和三条直线,若,且,设和所成的一个二面角的大小为,直线和平面所成的角的大小为,直线所成的角的大小为,则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 【详解】如图,在平行六面体中, 不妨设面 为,面 为,.则, 此时,由图可知,.只有C选项符合. 故选:D. 【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系. 二、填空题 4．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面，所成的锐二面角的大小为.则称平面，成角，已知平面，成70°角.则过空间一点且与，都成55°角的平面的个数为______个 【答案】3 【分析】过作平面的垂线，作平面的垂线，原问题等价于：相交于点的直线所成的角为，过点能且只能作几条直线与所成的角都是，然后通过夹角的平分线进行分析（绕点旋转运动）可得． 【详解】过作平面的垂线，作平面的垂线，原问题等价于：相交于点的直线所成的角为，过点能且只能作几条直线与所成的角都是， 设直线确定的平面为，则在平面上的射影必是所夹角（一个是，另一个是）的平分线，这样的直线有3条：一条是大小为的那个角的平分线，另2条是大小为的那个角的平分线绕点在的垂直平面内旋转所得． 故答案为：3． 5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据二面角的定义即可得出答案. 【详解】因为两个半平面所成二面角的大小为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 6．（2021·上海·高二专题练习）已知为锐二面角内一点，且到两个半平面及棱的距离之比为，则此二面角的度数为________． 【答案】 【分析】画图，设锐二面角为，作，，，连接，再分别计算正弦值可得，，进而求得此二面角的度数. 【详解】设锐二面角为，作，，，连接. 易得为二面角的平面角，又，故,，且锐二面角.故，. 故，即此二面角的度数为. 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的运用、二面角的计算等，需要根据题意作出对应的角度求解.属于基础题. 题型二：求二面角 一、填空题 1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角的平