4.2.3 对数函数的性质与图像(一)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4．2.3　对数函数的性质与图像(一) 学习目标　1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图像，并能根据对数函数的图像说明对数函数的性质． 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 知识点二　对数函数的图像与性质 y＝logax(a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图像过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图像关于x轴对称 1．y＝log2x2是对数函数．(　×　) 2．函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(　×　) 3．对数函数的图像一定在y轴右侧．(　√　) 4．当0<a<1时，若x>1，则y＝logax的函数值都大于零．(　×　) 一、对数函数的概念及应用 例1　(1)下列给出的函数： ①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)； ③y＝；④y＝log3； ⑤y＝logx(x>0且x≠1)；⑥y＝. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)已知对数函数的图像过点M(8,3)，则f ＝________. 答案　(1)D　(2)－1 解析　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)设f(x)＝logax(a>0且a≠1)， 由图像过点M(8,3)，得3＝loga8，解得a＝2. 所以对数函数的解析式为f(x)＝log2x， 所以f＝log2＝－1. 反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法 跟踪训练1　(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________. 答案　(1)1　(2)－3 解析　(1)由a2－a＋1＝1，解得a＝1或a＝0， 又a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1. (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3. 二、与对数函数有关的定义域 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝； (3)y＝. 解　(1)由题意得解得－3<x<3， ∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由题意得即解得x≤1. 故函数y＝的定义域为(－∞，1]． (3)要使函数有意义，需满足 即解得－1<x<0， 因此函数y＝的定义域为(－1,0)． 反思感悟　求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2(16－4x)． 解　(1)要使函数有意义，需 解得 即－3<x<－2或x≥2， 故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． 三、对数函数的图像 例3　(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案　A 解析　方法一　观察在(1，＋∞)上的图像，先排c1，c2底的顺序，底数都大于1，当x>1时图像靠近x轴的底数大，c1，c2对应的a值分别为，.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x<1时图像靠近x轴的底数小，c3，c4对应的a值分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为，，，. 方法二　如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为，，，. (2)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图像是(　　) 答案　B 解析　由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是