4.2.3 对数函数的性质与图像(二)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4．2.3　对数函数的性质与图像(二) 学习目标　1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较.2.会解简单的对数不等式.3.会解决对数函数的综合性问题． 一、比较大小 例1　比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<， 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 反思感悟　比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图像，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 跟踪训练1　(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　因为a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1， 由对数函数的性质可知log52<log32，所以b<a<c. (2)已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　∵0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0， c＝>＝1，∴c>a>b. 二、解对数不等式 例2　解下列关于x的不等式： (1)； (2)loga(2x－5)>loga(x－1)． 解　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}． (2)当a>1时，原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}； 当0<a<1时，原不等式的解集为. 反思感悟　常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 跟踪训练2　若loga<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围． 解　loga<1，即loga<logaa. 当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数， 所以loga<logaa恒成立； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数， 由loga<logaa，得a<，即0<a<. 所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)． 三、求对数型复合函数的单调区间或值域 例3　求函数y＝的单调递增区间，并求函数的最小值． 解　要使y＝有意义，则1－x2>0， 所以x2<1，即－1<x<1， 因此函数y＝的定义域为(－1,1)． 令t＝1－x2，x∈(－1,1)． 当x∈(－1,0]时，若x增大，则t增大，y＝减小， 所以当x∈(－1,0]时，y＝是减函数； 同理当x∈[0,1)时，y＝是增函数． 故函数y＝的单调递增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝＝0. 反思感悟　(1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域． (2)利用换元法以及复合函数的单调性求解最值． 跟踪训练3　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝(3＋2x－x2)． 解　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. 因为x2＋4≥4， 所以log2(x2＋4)≥log24＝2. 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4. 因为u>0，所以0<u≤4.