4.2.2 对数运算法则（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

4.2.2　对数运算法则 学习目标　1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明． 知识点一　对数运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN. 知识点二　换底公式 1．logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0且N≠1，a>0且a≠1)； (2)＝logab(a>0且a≠1，b>0，n≠0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，d>0)． 1．积、商的对数可以化为对数的和、差．(　√　) 2．loga(xy)＝logax·logay.(　×　) 3．log2(－5)2＝2log2(－5)．(　×　) 4.＝log2.(　×　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、对数式的运算 例1　计算下列各式的值： (1)log345－log35； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (3)lg 14－2 lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解　(1)原式＝log3＝log39＝log332＝2. (2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (3)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. (4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 反思感悟　解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算法则．常用方法有以下3种 (1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开． (2)将同底数的对数的和、差、倍合并． (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 跟踪训练1　计算下列各式的值： (1)2log23－log2＋log27－； (2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)． 解　(1)2log23－log2＋log27－ ＝log29－log2＋log27－2 ＝log2－2＝3－2＝1. (2)原式＝log33＋lg(25×4)－2＝＋2－2＝. 二、对数运算法则的综合应用 例2　(1)已知log312＝a，试用a表示log324； (2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg. 解　(1)因为log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a， 所以log32＝， 所以log324＝log3(8×3)＝1＋3log32 ＝1＋3×＝. (2)因为108＝4×27＝22×33， 所以lg＝lg 108＝lg(22×33) ＝lg 22＋lg 33＝lg 2＋lg 3＝a＋b. 反思感悟　对数式的化简、求值一般要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的计算． 跟踪训练2　设lg 6＝a，lg 15＝b，试用a，b表示lg. 解　由已知得即 解得 所以lg＝lg 108＝lg(22×33) ＝(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋lg 3 ＝＋× ＝＝. 三、换底公式的应用 例3　(1)计算：(log43＋log83)log32＝________. 答案　 解析　原式＝log32 ＝log32 ＝＋＝. (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) 解　方法一　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝＝ ＝＝. 方法二　因为18b＝5，所以log185＝b， 所以log3645＝＝ ＝＝. 方法三　因为log189＝a,18b＝5， 所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. 反思感悟　利用换底公式计算、化简的常用方法 (1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． (2)一次性地换为常用对数，再化简、通分、求值． (3)将式子中的对数的底数及真数改为幂的形式，然后利用变形＝logab. 跟踪训练3　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 解　因为log23＝a，所以＝log32， 又因为log37＝b，