6.4.3 第5课时 余弦定理、正弦定理的应用（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

第5课时　余弦定理、正弦定理的应用 学习目标　1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 一、三角形面积公式 问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C. 知识梳理　 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝ absin C＝bcsin A＝casin B. 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°， sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. 例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ． 答案　 解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去)． 所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ . 答案　 解析　由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a， ∴cos B＝＝＝. 反思感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccos A＋a＝b. (1)求C的大小； (2)求△ABC的面积． 解　(1)由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 即sin A＝sin Acos C， ∵sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝. (2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即7＝a2＋b2－ab， ∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6， ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝， 故△ABC的面积为. 二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用 例2　如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－. (1)求sin C的值； (2)若BD＝5，求△ABD的面积． 解　(1)因为cos∠ADB＝－， 所以sin∠ADB＝. 又因为∠CAD＝，所以∠C＝∠ADB－. 所以sin C＝sin＝sin∠ADB·cos －cos∠ADB·sin ＝×＋×＝. (2)在△ACD中，由＝， 得AD＝＝＝2. 所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB＝×2×5×＝7. 反思感悟　在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角． 跟踪训练2　如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为. (1)求AC的长； (2)若AB⊥AD，∠B＝.求BC的长． 解　(1)∵∠D＝，CD＝，△ACD的面积为， ∴S△ACD＝AD·CD·sin D＝×AD××＝， ∴AD＝， ∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18， ∴AC＝3. (2)由(1)知，在△ACD中AD＝，CD＝，∠D＝， ∴∠DAC＝， ∵AB⊥AD，∴∠BAC＝. 又∵∠B＝，AC＝3， ∴在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，∴BC＝3. 三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b－c＝2，cos A＝－. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值． 解　(1)在△ABC中，cos A＝－，∵A∈(0，π)， ∴sin A＝＝， 由△ABC的面积为，可得bcsin A＝， 可得bc＝8. 又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)， ∴b＝4，c＝2， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×8×＝24， ∴a＝2， 又＝， 解得sin C＝， ∴a＝2，sin C＝. (2)由(1)知，sin C＝，b>c，∴C∈， ∴cos C＝＝， cos 2C＝2cos2C－1＝， sin 2C＝2sin Ccos C＝， cos＝cos 2Ccos －sin 2Csin ＝×－×＝. 反思感悟　正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角