6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 导语　 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量． 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案． 一、距离问题 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离． 解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝＝40. 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA ＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400， ∴AB＝20， 故A，B两点之间的距离为20 m. 反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 跟踪训练1　(1)A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km. 答案　 解析　由余弦定理，得 AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C ＝72＋52－2×7×5× ＝39. ∴AB＝. (2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m. 答案　60 解析　tan 30°＝，tan 75°＝， 又AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， ∴AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m. 二、高度问题 例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　) A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m 答案　D 解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， 故BC＝＝10(m)． 在Rt△ABC中，tan 60°＝， 故AB＝BC×tan 60°＝10(m)． 反思感悟　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 跟踪训练2　珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为(sin 70°≈0.94)(　　) A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米 答案　C 解析　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4(米)． 三、角度问题 例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)， B＝180°－60°＝120°， 由＝，得 sin∠CAB＝＝＝＝， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－3