6.4.3 第3课时 正弦定理(二)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

第3课时　正弦定理(二) 学习目标　1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.3.掌握正弦、余弦定理的简单应用． 一、利用正弦、余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形． 解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1， ∴A＝90°，C＝60°. 方法二　由正弦定理，得＝，解得sin C＝， 又c>b ， ∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6； 当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3. 反思感悟　若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数． 跟踪训练1　已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B成立，求角C的大小． 解　由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B， 所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sin B， 所以a2－c2＝(a－b)b， 即a2＋b2－c2＝ab. 因为cos C＝， 所以cos C＝. 因为0°<C<180°，所以C＝45°. 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2　(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解　根据正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D. (2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，∵0<B<π，sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，所以三角形为直角三角形，故选C. 三、正弦、余弦定理的综合应用 例3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解　(1)∵bsin A＝acos B， ∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝，∴B＝. (2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2