6.4.3 第2课时 正弦定理(一)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

第2课时　正弦定理(一) 学习目标　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 导语　 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？ 一、正弦定理的推导 问题1　在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示　在锐角三角形中， 如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 因为＋＝， 所以j·(＋)＝j·. 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos， 也即asin C＝csin A， 所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 ＝. 因此＝＝. 在钝角三角形中， 当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得 ＝＝. 问题2　在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示　观察下图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， 所以在△AB′C中，＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 知识梳理　 正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R. 二、已知两角及任意一边解三角形 例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值． 解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由＝得，c＝＝ ＝＝4(＋1)． 所以A＝45°，c＝4(＋1)． 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　(教材P47例8改编)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解　∵＝，∴sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 延伸探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解　∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 反思感悟　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝＝. 四、三角形解的个数的判断 例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 解　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°.满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无