6.4.3 第1课时 余弦定理（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 导语　 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例． 知识梳理　 1．余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 注意点： 余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 二、已知两边及一角解三角形 例1　(1)(教材P43例5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形． 解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，A＝30°，C＝120°； 当a＝2时，由余弦定理得cos A＝＝0， A＝90°，C＝60°. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ，sin A＝ . 答案　2　 解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝ ＝. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝ . 答案　3 解析　由余弦定理，得5＝22＋b2－2×2bcos A， 因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0， 解得b＝3. 三、已知三边解三角形 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 提示　cos A＝， cos B＝， cos C＝. 知识梳理　 余弦定理推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝， cos B＝， cos C＝. 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解　根据余弦定理，得cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 解　∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理的推论，得 cos A＝＝＝－. 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 四、利用余弦定理判断三角形形状 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2>a2； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 例3　在△ABC中