6.4.2 向量在物理中的应用举例（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.4.2　向量在物理中的应用举例 学习目标　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用． 导语　 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰． 一、向量与力 例1　如图，用两根分别长5 m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 解　如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角， BG与铅垂方向成60°角． 设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G. 因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°， 则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，① 且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°，② 由①②得|Fa|＝150－50， 所以A处所受力的大小为(150－50)N. 反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 跟踪训练1　用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N. 答案　10 解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角， 且|F1|＝|F2|，F1＋F2＋G＝0． ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N， ∴每根绳子的拉力都为10 N. 二、向量与速度、加速度、位移 例2　(教材P41例4改编)一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ 解　如图所示， 设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2，又AB＝，∴用时0.5 h，易知sin∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°. ∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算． 跟踪训练2　某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是______ m，方向是北偏东________． 答案　60　30° 解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥， 则||＝＝60(m)， tan∠BOA＝＝， 所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 三、向量与功 例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解　如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)． 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角)． 跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 答案　－40 解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)． 又∵＝(－1,4)， ∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40. 1．知识清单： (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解． (2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题． 2．方法归纳：