6.4.1 平面几何中的向量方法（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

§6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 学习目标　1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.体会向量在解决数学问题中的作用． 导语　 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明　设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 反思感悟　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 跟踪训练1　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 证明　设＝λ(λ＞0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－ ＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB. 二、利用向量证明平面几何问题 例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　方法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 则＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2) ＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴⊥，即DP⊥EF. 方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0<λ<)， 则D(0,1)，P， E，F. ∴＝，＝. ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 三、利用平面向量求几何中的长度问题 例3　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝ ＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 反思感悟　用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 跟踪训练3　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析　∵BC的中点为D，＝， ∴||＝. 四、利用平面向量求几何中的角度问题 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解　(1)设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. ∴||2＝2＝2 ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. ∴AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， 则θ为与的夹角． ∴cos θ＝ ＝ ＝ ＝＝0. ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 反思感悟　用向量法求角度的策略 (1)将要