6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学习目标　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 导语　 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、平面向量数量积的坐标表示 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 知识梳理　 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2. 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 答案　B 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 答案　 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. 二、平面向量的模 知识梳理　 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A. B. C．5 D．25 答案　C 解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 知识梳理　 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 1．cos θ＝＝. 2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角． 例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. (2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是