6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 导语　 同学们，我们一起回顾一下上节课的内容． 1．平面向量的坐标如何表示？ 2．平面向量的加、减法如何用坐标进行运算？ 3．已知两点A，B的坐标，如何求的坐标？ 一、数乘运算的坐标表示 问题1　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示　λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy)． 知识梳理　 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 例1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 答案　A 解析　∵3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c＝(－23，－12)． (2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于(　　) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案　D 解析　＝(－) ＝(－2，－2)＝(－1，－1)． 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 二、向量共线的判定 问题2　已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 知识梳理　 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 例2　(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 答案　ABC 解析　能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行； B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行； C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行； D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b. 反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练2　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解　因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 因为2×6－3×4＝0， 所以∥，所以与共线． 又＝，所以与的方向相同． 三、利用向量共线的坐标表示求参数 例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________. 答案　－ 解析　3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0， 解得k＝－. (2)已知＝(k，2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________. 答案　－ 解析　＝－＝(1－k，2k－2)， ＝－＝(1－2k，－3)， 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 解得k＝－(k＝1不合题意，舍去)． 反思感悟　利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)