6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 导语　 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 一、平面向量的坐标表示 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 知识梳理　 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 例1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) 答案　A 解析　由题意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)． 反思感悟　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． 跟踪训练1　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标． 解　设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6， 即A(2，6)，所以＝(2，6)． 二、平面向量加、减法的坐标表示 问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)． 知识梳理　 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 注意点： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 例2　在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，求的坐标． 解　∵＝＋， ∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝(－3，－5)． 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 跟踪训练2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案　A 解析　方法一　设C(x，y)，O(0,0)， 则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即x＝－4，y＝－2， 故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4)． 方法二　＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1) ＝(－7，－4)． 三、平面向量坐标运算的应用 例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)．若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内． 解　设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(