6.2.4 向量的数量积(一)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.4　向量的数量积(一) 学习目标　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积． 导语　 给出有关材料并提出问题． 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是数量；②F(力)是向量；③s位移是向量；④α是数量． (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积． 这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F与s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习向量的数量积． 一、两向量的夹角 问题1　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示　θ是向量F与向量s的夹角． 知识梳理　 1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是0≤θ≤π. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. 二、两向量的数量积 问题2　物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示　W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 知识梳理　 1．已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝. 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)沟通了向量运算与数量之间的关系． 例2　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 跟踪训练2　(1)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________. 答案　0　－16　－16 解析　由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. (2)(教材P18例10改编)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 三、投影向量 知识梳