6.2.4 向量的数量积(二)（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.4　向量的数量积(二) 学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 导语　 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、向量数量积的运算律 知识梳理　 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 注意点： (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确． 故正确结论的选项是ACD. 反思感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1　给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 答案　② 解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案　2 解析　方法一　|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 方法二　(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， 则|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. (2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. ①求|b|； ②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解　①因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝， 即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝， 故|b|＝. ②因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1， 故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． 跟踪训练2　已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，求a，b的夹角． 解　设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝， ∴|a||b|cos θ＝， 即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为. 三、与垂直有关的问题 例3　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　由题意知，＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2， 因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0， 即tn2＋n2＝0， 所以t＝－4. 反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)． 跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小． 解　设a与b的夹角为θ， 由已知得