6.2.3 向量的数乘运算（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.3　向量的数乘运算 学习目标　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 导语　 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算． 一、向量的数乘运算 问题1　如图，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样？ 　 提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 知识梳理　 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 注意点： (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　) A．λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误． 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 二、向量的线性运算 知识梳理　 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 例2　(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 答案　C 解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 答案　4b－3a 解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a ＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 三、用已知向量表示其他向量 例3　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b 答案　D 解析　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　示意图如图所示，由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋. 四、向量共线定理 问题2　如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示　共线，存在． 知识梳理　 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意点： (1)向量共线定