6.2.2 向量的减法运算（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.2　向量的减法运算 学习目标　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义. 2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 导语　 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 一、向量的减法运算 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示　减去一个数等于加上这个数的相反数． 知识梳理　 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 答案　BCD 解析　相反向量的大小相等、方向相反，故A错误． 跟踪训练1　(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 答案　BCD 二、向量减法的几何意义 问题2　如何进行向量的减法运算？ 提示　转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 知识梳理　 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　　　 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 三、向量加减的混合运算 例3　(1)化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． 解　①＋－－＝(－)＋(－) ＝＋＝. ②(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0． (2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0． 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 跟踪训练3　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　) A.＋ B.－ C.－ D.－ 答案　AD (2)化简下列各式： ①－＋－； ②(－)＋(－)． 解　①－＋－＝＋－＝－＝. ②(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 四、向量加减法的综合应用 例4　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解　∵四边形ACDE是平行四边形， ∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. 反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 跟踪训练4　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案　A 解析　＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c. 1．知识清单： (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算． 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 答案　D 解析　＝－＝a－b. 2．化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3