6.2.1 向量的加法运算（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

§6.2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 导语　 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 一、向量加法的三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和． 知识梳理　 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 例1　如图所示， (1)a＋b＝________； (2)c＋d＝________； (3)a＋b＋d＝________； (4)c＋d＋e＝________. 答案　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即 ＋＋……＋＝. 二、向量加法的平行四边形法则 问题2　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　F＝F1＋F2　平行四边形法则 知识梳理　 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的． 3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同． 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 　　　　　　 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝____________； (2)＋＝____________； (3)＋＝____________. 答案　(1)　(2)　(3)0 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线， 故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同， 长度为的长度的2倍， 故＋＝. (3)因为＝，故＋＝＋＝0． 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 问题3　请结合例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示　作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 借助下图，不难证明满足结合律． 知识梳理　 1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|