6.1 平面向量的概念（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

§6.1　平面向量的概念 学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 导语　 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度的大小为10 n mile/h)，这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．这就是说，位移是既有大小又有方向的量． 一、向量的概念及几何表示 知识梳理　 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 注意点： (1)书写向量时带箭头． (2)向量强调长度和方向两个元素． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素． 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，； (2)求||. 解　(1)向量，，如图所示． (2)由题意，可知与方向相反，故与共线， ∵||＝||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴＝，∴||＝||＝200(km)． 反思感悟　作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练1　一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地． (1)在图中作出，，，； (2)求B地相对于A地的位置． 解　(1)向量，，，，如图所示． (2)由题意知＝，∴AD＝BC，AD∥BC， 则四边形ABCD为平行四边形， ∴＝，则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6千米”． 二、零向量和单位向量 知识梳理　 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 例2　(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 答案　ACD 解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确． 反思感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练2　下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 三、相等向量与共线向量 知识梳理　 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 例3　(教材P4例2改编)如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法 (1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的