备战2022届高考考前二级公式微专题训练系列第7章平面向量(4）极化恒等式

备战2022高考考前二级公式微专题系列 第7章 平面向量(4）极化恒等式 课本上出现的2个重要的向量三角关系：如图在中，是边的中点，，则 一般地，设是平面内的两个向量，则有，我们称它为极化恒等式.极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示. 推论1（极化恒等式的平行四边形模式）向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 推论2 （极化恒等式的三角形模式）向量的数量积等于中线长与半底边长的平方差. 从极化恒等式看到，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的长度关系，即中线长（和向量）与半底边长（差向量）的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化，能解决有中点或能构造中点的向量数量积问题.具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能. 【罗师导航】（1）积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值． （2）积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)． 题型一、求平面向量数量积的值 【罗师导航】利用极化恒等式求数量积的值的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点； (2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值． 【例1-1】如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝(　　) A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3 答案　C；解析　连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5． 【例1-2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________． 答案　；解析　连结EG，FH，交于点O，则·＝·＝2－2＝1－＝，·＝·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝． 【例1-3】 (2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________． 答案　；解析　极化恒等式法　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4， ·＝2－2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝，m2＝．因此·＝2－2＝4n2－m2＝．即·＝． 坐标法　以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)　·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4　·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝　·＝·＝4a2－c2＋4b2＝． 基向量　·＝(－)(－)＝＝＝4，·＝(－)(－)＝＝－1，因此2＝，＝，·＝(－)(－)＝＝＝． 【能力过关检测】 【1-1】如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　) A．1　　　　　B．　　　　C．　　　　　D．－ 答案　B；解析　取AO中点Q，连接PQ，·＝·＝PQ2－AQ2＝－＝． 【1-2】 (2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．5 答案　A；解析　通法